Примеры решения индивидуалных заданий первого уровня. Всюду определенная функция Всюду определенность
Соответствие между множествами Соответствием между множествами и называется подмножество. Множество называется областью определения а множество областью значений соответствия. Если то соответствие называется всюду определенным или полностью определенным в противном случае частичным; если то соответствие называется сюръективным или сюръекцией. Множество всех соответствующих элементу называется образом в при соответствии.
Поделитесь работой в социальных сетях
Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск
аранов Виктор Павлович. Дискретная математика. Раздел 1. Элементы теории множеств.
Лекция 2. Соответствия, отображения, отношения
Лекция 2. СООТВЕТСТВИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ОТНОШЕНИЯ
План лекции:
- Соответствие между множествами.
- Понятие отображения множеств.
- Отношения на множестве.
- Соответствие между множествами
Соответствием между множествами и называется подмножество. Если, то говорят, что соответствует при соответствии. Мн о жество называется областью определения , а множество областью знач е ний соответствия. Если, то соответствие называется всюду опред е ленным или полностью определенным (в противном случае частичным ); если, то соотве т ствие называется сюръективным или сюръекцией .
Множество всех, соответствующих элементу, называется образом в при соответствии. Множество всех, которым соответствует элемент, называется прообразом в при соответствии.
Соответствие называется инъективным или инъекцией , если прообразом любого элемента из является единственный элемент из. Соответствие назыв а ется функциональным или однозначным , если образом любого элемента из является единственный элемент из. Соответствие называется взаимно однозна ч ным или биекцией , если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъе к тивно.
- Понятие отображения множеств
Отображением множества во множество называется функциональное с о ответствие (обозначение). Множество называется областью определения отображения, элемент аргументом отображения, элемент образом при отображении. При этом пишут. Часто, когда множества числ о вые, отображение называют функцией . Если числовое только множество, то отображ е ние называют функционалом .
Образом
Прообразом подмножества при отображении называется множество
По аналогии с соответствиями различают сюръективные, инъективные и биективные отображения.
Пример 1. Обозначим через. Рассмотрим следующие три отобр а жения
которые зададим одной формулой: . Они различны, так как различны исходные множества. При этом является сюръективным, но не инъективным; инъективно, но не сюръективно; биективно.
Отображения вида называются преобразованиями множества. Преобр а зование называется тождественным , если.
Пусть и некоторые отображения. Суперпозицией этих от о бражений называется отображение, определяемое следующим образом:
Отметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако с у перпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.
Операция суперпозиции ассоциативна: , где, отображения.
Пусть и. Отображение называется обратным к отображ е нию (а отображение обратным к), если
Обратное отображение обозначается. Если обратное отображение существует, то оно единственно. Необходимое и достаточное условие существования обратного от о бражения дает следующая теорема.
Теорема 1. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно бие к тивно.
Доказательство. Пусть.
Необходимость. Пусть существует обратное отображение. Ра с смотрим и. Тогда, где прообраз при отображ е нии. Таким образом имеет прообраз, т. е. сюръективно.
Достаточность. Пусть биективно. Определим отображение следу ю щим образом. Положим, если. В силу биективности отображ е ние определено на всем, и.
- Отношения на множестве
Бинарным отношением на множестве называется подмножество. Тот факт, что находится в отношении с, обозначается следующим образом:
Областью определения бинарного отношения на множестве называется мн о жество
а областью значений множество
Пример 2. Примеры отношений:
отношение равенства «=» на множестве состоит из всех пар вида, Если элемент находится в отношении равенства к элементу, то пишут;
отношение неравенства «» на множестве R : ;
отношение делимости «|»на множестве: .
Так как отношения определяются как подмножества, то над ними можно произв о дить теоретико-множественные операции.
Дополнением бинарного отношения на мн о жестве считается множество
Например, если отношение «=», то =«», а «».
Обратным отношением (обращением ) для бинарного отношения называется множество
Произведением отношений и называется отношение
Всякое подмножество называют -местным отношением на множестве.
Совокупность всех отношений на множестве, для которых заданы операции су м мы, произведения, разности, дополнения и обращения, образуют алгебру отношений (и с числение отношений ) множества. В частности, последняя находит применение при разработке реляционных баз данных.
Свойства отношений. Отношения делятся на различные виды в зависимости от т о го, обладают или не обладают некоторыми свойствами.
- Рефлексивность : . Например, рефлексивно на множестве прямых о т ношение «прямая пересекает прямую ».
- Симметричность : . Например, симметрично отношение параллельности на множестве прямых плоскости.
- Транзитивность : . Например, транзитивно на множестве отрезков отношение «отрезок длиннее отрезка ».
Среди различных бинарных отношений выделяются два специальных типа, игра ю щих важную роль в разнообразных математических конструкциях и доказательствах.
Отношение эквивалентности . Отношение на множестве называется отн о шением эквивалентности , если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричн о сти и транзитивности. Отношение эквивалентности часто обозначают: .
Пример 3. Примеры отношения эквивалентности:
отношение «одного роста» на множестве людей;
отношение подобия на множестве треугольников;
отношение принадлежности двух студентов к одной студенческой группе.
Смежным классом (классом эквивалентности ) элемента по эквивалентности называется множество
Любой элемент называется представителем этого класса.
Множество классов эквивалентности элементов множества по эквивалентности называется фактор-множеством по и обозначается.
С каждым отношением эквивалентности связано разбиение множества на неперес е кающиеся подмножества, которое лежит в основе всевозможных классификаций.
Разбиением множества называется всякое представление этого множества в в и де суммы непересекающихся подмножеств:
Здесь множество индексов, которое может быть конечным, счетным или несче т ным. Множества называют слоями разбиения.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы отношение позволяло разбить множество на кла с сы, необходимо и достаточно, чтобы было отношением эквивалентности.
Пример 4. Плоскость разбита на прямые
Этому разбиению соответствует отношение такое, что если.
Покажем, что каждая эквивалентность отвечает некоторому разбиению множества.
Для каждого обозначим через класс всех элементов, эквивалентных:
Из рефлексивности следует, что. Далее, если, то есть, то. Из транзитивности имеем, что, то есть. Таким образом, . В силу симметричности отношения, то есть. Повторяя ра с суждения, получим, что. Следовательно, . Таким образом, каждый эл е мент входит в некоторый класс и различные классы не пересекаются, то есть классы образуют разбиение множества, отвечающее отношению эквивалентности.
Приведем примеры использования отношения эквивалентности для образования м а тематических понятий.
- Понятие вектора . Сначала вводится понятие направленного отрезка, как пары точек. Два отрезка и объявляются эквивалентными, если середины отрезков и совпадают. Далее проверяется, что это отношение между н а правленными отрезками рефлексивно, симметрично и транзитивно. Класс эквивалентных отрезков и есть вектор.
- Построение рациональных чисел из целых . Рассмотрим всевозможные пары из целых чисел такие, что. Пары и объявляются эквивалентн ы ми, если. Далее проверяется рефлексивность, симметричность и транзити в ность. Класс эквивалентных пар рациональное число.
Отношение порядка . Бинарное отношение на множестве называется отн о шением порядка , если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Последнее свойство означает: .
Пример 5. Примеры отношений порядка:
отношение «» на множестве действительных чисел. Отношение «» порядком не является, так как оно не рефлексивно;
отношение «» на множестве подмножеств некоторого множества;
на множестве двоичных слов длины можно ввести отношение порядка следу ю щим образом. Пусть и двоичные слова. Положим, если для, 1, 2, …, .
Пусть отношение порядка на множестве. Элементы называются сравнимыми , если или, в противном случае несравнимыми .
Порядок называется линейным , если любые два элемента сравнимы. В противном случае говорят о частичном порядке. Множество с заданным на нем порядком (ча с тичным или линейным) называется упорядоченным (частично или линейно). Первое о т ношение в примере 5 задает линейный порядок, два других отношения порядка части ч ные. Например, двоичные слова 011 и 110 несравнимы.
Элемент частично упорядоченного множества называется максимальным (м и нимальным ), если из того, что следует. Элемент называется наибол ь шим (наименьшим ), если () для всех.
Верхней (нижней) гранью подмножества частично упорядоченного множества называется такой элемент, что
().
Точной в ерхней (нижней) гранью подмножества называется наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань для. Точная верхняя и точная нижняя грани об о значаются соответственно и.
Линейный порядок на множестве называется полным , если каждое непустое по д множество множества имеет наименьший элемент. В этом случае множество наз ы вается вполне упорядоченным .
Частично упорядоченное множество называется решёткой , или структурой , е с ли для любых двух элементов существует точная нижняя и точная верхняя гр а ни.
Пример 6. Примеры решёток:
множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;
всякое линейно упорядоченное множество; причем, если, то.
Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм> |
|||
| 13367. | Переводческие соответствия | 9.19 KB | |
| Чорошо известные случаи когда независимо от контекста определенной единицы языка оригинала почти всегда переводятся одними и теми же единицами языка перевода например политические термины собственные имена и названия а также другие слова и словосочетания имеющие синонимичные единичные соответствия, аналоги или вариантные и контекстуальные соответствия в лексике в фразеологии и в синтаксисе т. | |||
| 17469. | Сертификация и подтверждение соответствия | 29.3 KB | |
| Повышению качества продукции способствует конкуренция между производителями, которые, как правило, выходят на рынок для решения прежде всего своих задач, а не для удовлетворения потребностей приобретателя. Вместе с тем для успеха на рынке решающую роль играет качество и конкурентоспособность продукции. | |||
| 9392. | Отображения и преобразования множеств. Аналитическое выражение преобразований, группа преобразований. Движения плоскости. Простейшие виды движений | 154.91 KB | |
| Движения плоскости. Выберем на плоскости некоторую аффинную систему координат. Координаты точки зависят от координат точки: 1 Обратно если заданы функции 1 то можно считать что они определяют некоторое отображение плоскости в себя: каждой точке ставится в соответствие точка. Отображение f задано своими аналитическим выражением Выяснить является ли оно преобразованием плоскости. | |||
| 10327. | Брачно-семейные отношения в МЧП. Трудовые отношения в МЧП | 125.54 KB | |
| В одних странах имеются ограничения для женщин вступающих в брак: они могут вступать в брак только по истечении определенного периода времени после развода или смерти мужа в других странах такие ограничения не установлены. Имеются страны в которых установлены ограничения или особые условия для вступления в брак их граждан с иностранцами. Гражданские кодексы этих государств установили так называемый брачный договор который заключается до брака и закрепляет прежде всего права мужа на имущество жены. Законодательству и практике ряда стран... | |||
| 8957. | Основы сертификации. Подтверждение соответствия | 3.95 MB | |
| Обязательное подтверждение соответствия может осуществляться в форме декларирования или обязательной сертификации. За выданный сертификат соответствия ответственность несет орган по сертификации. Добровольное подтверждение соответствия может осуществляться только в форме добровольной сертификации. | |||
| 968. | Маркировка продукции знаком соответствия государственным стандартам | 168.58 KB | |
| Сущность дисциплины Стандартизация и сертификация продукции растениеводства. Маркировка продукции знаком соответствия государственным стандартам. Виды и средства контроля качества. Проблема повышения качества сельскохозяйственной продукции является одной из наиболее важных и сложных т. Сертификация продукции растениеводства рассматривается как официальное подтверждение качества и во многом определяет конкурентоспособность продукции а значит и развитие... | |||
| 15003. | Выявление степени соответствия аргументации рассматриваемых библеистов святоотеческому подходу к толкованию посланий ап. Павла и его эсхатологии | 139.84 KB | |
| Павла проф. Павла к фессалоникийцам. Павла и представления ветхозаветных иудеев. Павла в связи с накопившимися по этому поводу разными богословскими взглядами а также возросшим интересом к пониманию эсхатологической проблемы в современной христианской среде. | |||
| 9900. | Установление соответствия и расхождения в трактовке авторами образов сильных героев-капитанов, определить тенденции их изображения | 63.65 KB | |
| Объектом нашего исследования являются произведения таких писателей как Д. Цель нашего исследования установить соответствия и расхождения в трактовке авторами образов сильных героевкапитанов определить тенденции их изображения. В них рассматривается биография автора место романа Красный корсар среди других его романов; раскрывается образ главного героя его связь с морем. Практическая значимость нашего исследования заключается в том что вводимый нами в научное обращение материал может способствовать более... | |||
| 7020. | МЕЖБЮДЖЕТНЫЕ ОТНОШЕНИЯ | 20.47 KB | |
| Принципы разграничения доходов и расходов между бюджетами разных уровней. Но при этом остается слишком мало возможностей для учета фактических потребностей отдельных территорий субъектов федерации и муниципальных образований и обеспечения их заинтересованности в расширении собственных доходов потенциалов. Децентрализация бюджетной системы уменьшающая концентрацию бюджетных доходов в центре соответственно сокращает объем перераспределяемых средств но почти никогда не избавляет полностью от необходимости применения механизмов... | |||
| 18358. | Межбюджетные отношения | 112.41 KB | |
| Специфика местных бюджетов в системе административно-территориального управления. Положениями Бюджетного кодекса Республики Казахстан в части регулирования межбюджетных отношений органам местного управления предоставлено право самостоятельного формирования своих бюджетов и решения социальных задач за счет их доходной части. Таким образом основными проблемами в этой сфере остаются общая неустойчивость финансового состояния местных бюджетов и их зависимость от финансовой помощи вышестоящих уровней власти а также... | |||
Функция, вычисление значений к рой может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной процедуры, или алгоритма. Характерная черта вычислительных процессов вычисление искомых величин задач происходит последовательно из данных исходных… … Математическая энциклопедия
Функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
Функция комплексного переменного, имеющая конечную производную. Точнее, функция, определенная на множестве Екомплексной плоскости, наз. моногенной (относительно множества Е)в конечной неизолированной точке, если она имеет в этой точке конечную … Математическая энциклопедия
Функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке, если Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу… … Математическая энциклопедия
В точке М функция, интегрируемая в том или ином смысле в нек рой окрестности точки М. Если действительная функция f, определенная на отрезке [ а, b], есть точная конечная производная функции F, действительной и определенной на том же отрезке, то… … Математическая энциклопедия
Z ф у нкция, 1) Д. ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д. ф. и их обобщения в виде L функций (см. Дирихле L функции)лежат в основе современной аналитич.… … Математическая энциклопедия
Одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности W) голоморфная функция в области к рая в каждой особой точке имеет полюс (т. е. изолированная точка множества не имеющего предельных точек в W, и). Совокупность M(W) всех М … Математическая энциклопедия
Гипергармоническая функция, метагармоническая функция, порядка т функция u(x)=u(xl, . . ., х n).действительных переменных, определенная в области Dевклидова пространства, имеющая непрерывные частные производные до 2m го порядка включительно и… … Математическая энциклопедия
Направление, связанное с изучением числовых характеристик и метрич. свойств булевых функций. Основные разделы этой теории посвящены исследованию свойств почти всех булевых функций (см. Булевых функций минимизация), свойств совокупности всех… … Математическая энциклопедия
В данной статье будет доказан теорема о существовании перечислимого, но неразрешимого множества. Напомню, что по теореме Поста перечислимое множества разрешимо тогда и только тогда, когда его дополнение перечислимо.Основные определения, такие как … Википедия
Множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… … Математическая энциклопедия
Задача 1. A, B - некоторые множества, ય - универсальное множество. Найдите AÇB, AÈB, A\B, B\A, A¢, B¢, A¢DB.
1) A = {2, 1, 8}, B = {9, 7, 2, 5, 1}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
2) A = (-10; 1], B = (-5; 20), ય = R.
Решение:
1) A = {2, 1, 8}, B = {9, 7, 2, 5, 1}, ય= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
AÇB = {x | xÎA и xÎB} = {1, 2};
AÈB = {x | xÎA или xÎB} = {1, 2, 5, 7, 8, 9};
A\B = {x | xÎA и xÏB} = {8};
B\A = {x | xÎB и xÏA} = {9, 7, 5};
A¢ = ય\A = {x | xÏA} = {3, 4, 5, 6, 7, 9};
B¢ = ય\B = {x | xÏB} = {3, 4, 6, 8};
XDY = (X\Y)È(Y\X) = (XÈY)\(XÇY).
A¢ÈB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}; A¢ÇB = {5, 7, 9};
A¢DB = (A¢ÈB)\(A¢ÇB) = {1, 2, 3, 4, 6}.
2) A = (-10; 1], B = (-5; 20), ય= R.
AÇB = {x | xÎA и xÎB} = (-5; 1];
AÈB = {x | xÎA или xÎB} = (-10; 20);
A\B = {x | xÎA и xÏB} = (-10; -5];
B\A = {x | xÎB и xÏA} = (1; 20);
A¢ = ય\A = {x | xÏA} = (-¥; -10] È (1; +¥);
B¢ = ય\B = {x | xÏB} = (-¥; -5] È È (-5; +¥); A¢ÇB = (1; 20);
A¢DB = (A¢ÈB)\(A¢ÇB) = (-¥; -10] È (-5; 1] È .
Объединим решения, полученные в пунктах 1 и 2:
xÎ È [-5; 2,5), т.е. xÎ[-5; 4].
Задача 8. F - соответствие из A в B. Проверьте выполнимость свойств соответствия (всюду определенность, однозначность, соответствие «на», разнозначность). Выясните, является ли данное соответствие отображением.
1) A = {1, 5, 3, 7, 2}, B = {10, 2, 4}, F = {(1,10), (5,2), (2,10), (7,2), (3,2)};
2) A = B = N (множество натуральных чисел), F = {(x,y) ç y - вторая цифра числа x}.
Решение:
1) Проверим свойства соответствия.
Всюду определенность: Для любого xÎA существует хотя бы один элемент yÎB, такое, что (x,y)ÎF, т.е. F - всюду определенное соответствие.
Однозначность: Для любого xÎA существует не более одного yÎB, такого, что (x,y)ÎF, т.е. F - однозначное соответствие.
Соответствие «на»: Элемент 4ÎB не имеет прообраза во множестве A, т.е. F не является соответствием «на».
Разнозначность: Поскольку (1,10)ÎF и (2,10)ÎF, то элемент 10 множества B имеет более одного прообраза во множестве A, т.е. F не является разнозначным соответствием.
Так как F - всюду определенное однозначное соответствие, то F - отображение.
2) Проверим свойства соответствия.
Всюду определенность: Не у каждого xÎN есть вторая цифра (например, если x - однозначное число), т.е. не у каждого xÎN есть образ. Итак, F не является всюду определенным соответствием.
Однозначность: Каждое xÎN может иметь не более одной второй цифры, т.е. F - однозначное соответствие.
Соответствие «на»: Не у всякого натурального числа есть прообраз при соответствии F. Например, число 10 не может быть цифрой натурального числа. Итак, F не является соответствием «на».
Разнозначность: Например, 5 - вторая цифра натуральных чисел 256 и 3578, т.е. (256, 5)ÎF и (3578, 5)ÎF, то элемент 5 множества B имеет более одного прообраза во множестве A, т.е. F не является разнозначным соответствием.
Так как F не является всюду определенным соответствием, то F - не отображение.
Задача 9. F - отображение из A в B. Проверьте выполнимость свойств отображения (сюръективность, инъективность, биективность).
Пусть A = B = N (множество натуральных чисел), "xÎN F(x)=(x-3) 2 +1.
Решение:
Проверим свойства отображения.
Сюръективность: Не у всякого натурального числа есть прообраз при отображении F. Например, для числа 3 нет прообраза во множестве N , т.к. если (x-3) 2 +1 = 3, т.е. (x-3) 2 = 2, то x не может принадлежать N . Итак, F не является сюръективным отображением.
Инъективность: Поскольку (2-3) 2 +1=2 и (4-3) 2 +1=2, т.е. F(2)=2 и F(4)=2, то элемент 2 множества B имеет более одного прообраза во множестве A, т.е. F не является инъективным отображением.
Задача 10. r - бинарное отношение, определенное на множестве натуральных чисел N . Проверьте выполнимость свойств бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность, антисимметричность, линейность) r.
Пусть r: «"A,BÎN A r B Û произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B».
Решение:
а) Рефлексивность: "AÎN (A r A)
Рефлексивность выполняется, если произведение цифр любого натурального числа A равно сумме цифр числа A.
Очевидно, что r - не рефлексивно, т.к., например, произведение цифр числа 12 не равно сумме его цифр (2¹3).
б) Симметричность: "A,BÎN (A r B Þ B r A)
Если из того, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B, следует, что произведение цифр числа B равно сумме цифр числа A, то отношение r будет симметричным.
Отношение r не симметрично, т.к. можно подобрать контрпример. Возьмем A=23, B=33, тогда произведение цифр числа A равно 6 и равно сумме цифр числа B, но произведение цифр числа B не совпадает с суммой цифр числа A (9¹5).
в) Транзитивность: "A,B,CÎN (A r B & B r C Þ A r C)
Если из того, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа B и произведение цифр числа B равно сумме цифр числа C, следует, что произведение цифр числа A равно сумме цифр числа C, то отношение r будет транзитивным.
Соответствием g между множествами X и Y будем называть тройку объектов: Г = (Х, K,G), где X - область отправления соответствия, Y - область прибытия соответствия, G - график соответствия, причём G ⊆ X × Y.
Областью определения соответствия будем называть пр 1 G.
Областью значений соответствия будем называть пр 2 G.
Соответствие называется всюду определённым , если пр 1 G = X.
Соответствие называется сюръективным , если np 2 G = Y.
Соответствие будем называть функциональным , или функцией , если его график не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.
Соответствие называется инъективным , если его график не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.
Соответствие называется отображением X в Y, если оно всюду определено и функционально.
Соответствие называется отображением X на Y, если оно всюду определено, функционально и сюръективно.
Соответствие называется взаимно однозначным , если оно функционально и инъективно.
Соответствие называется биекцией , если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Образом множества А при данном соответствии называется множество Г(В) = {у|(х,у)∈ G и х∈ А].
Прообразом множecmвa В при данном соответствии называется множество Г -1 (В) = {х|(х,у)∈ G и у∈ В}.
Множества называются равномощными , если между ними можно установить биекцию.
Множество называется счётным , если оно равномощно множеству натуральных чисел.
Множество называется континуальным , если оно равномощно множеству действительных чисел отрезка .
Задание 1.3.1
- Изобразить соответствие в виде графа.
- Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определённость, сюръективность, функциональность, инъективность) обладает Г.
- Найти образ множества А и прообраз множества В при данном соответствии.
- Построить соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и Г.
- Построить соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным данному. Замечание. Для данного и построенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций.
Замечание. Для данного и постоенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций.
Таблица 1.3.1
| № | X | Y | G | A | B |
| 1 | a,b,с,d,e | 1,2,3 | (a,2),(b,3),(c,l),(d,2),(e,l) | e,c | 2,3 |
| 2 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,4),(b,3),(c,2),(d,1) | a,b | 1,3 |
| 3 | a,b,с,d | 1,2,3,4,5 | (a,3),(b,5),(c,4),(d,1) | a,c | 1,4 |
| 4 | a,b,с,d,e | 1,2,3,4 | (d,1),(b,2),(e,4),(a,3) | b,c | 1,2 |
| 5 | a,b,с,d,e | 1,2,3 | (b,2),(c,1),(e,3),(a,3) | e,c | 3,1 |
| 6 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,2),(b,3),(c,1),(a,4) | a,b | 1,2 |
| 7 | a,b,с,d,e | 1,2,3,4,5 | (a,5),(b,3),(d,1),(e,2) | d,e | 1,3 |
| 8 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,3),(b,4),(c,3),(d,1) | a,c | 1,3 |
| 9 | a,b,с | 1,2,3,4,5 | (a,2),(b,1),(c,5),(a,3) | a,b | 3,4 |
| 10 | a,b,с | 1,2,3 | (a,1),(a,3),(b,2),(c,3) | a,c | 2,3 |
| 11 | a,b,с,d | 1,2,3,4,5 | (a,2),(c,1),(d,5),(c,3) | b,c | 1,2 |
| 12 | a,b,с,d,e | 1,2,3,4 | (b,1),(c,3),(d,2),(c,1) | a,c | 1,2 |
| 13 | a,b,с,d | 1,2,3 | (a,1),(b,1),(c,3),(b,2) | b,d | 1,3 |
| 14 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,4),(b,3),(b,2),(c,3),(d,4) | a,b | 3,4 |
| 15 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,4),(c,4),(b,2),(a,3) | a,b | 2,4 |
| 16 | a,b,с,d,e | 1,2,3 | (a,2),(b,1),(d,3),(e,1) | a,b | 1,2 |
| 17 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (b,3),(a,2),(c,2),(d,1) | a,c | 1,4 |
| 18 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,3),(c,2),(d,1),(c,4) | c,d | 2,3 |
| 19 | a,b,с | 1,2,3,4,5 | (a,2),(b,5),(c,4),(b,3) | a,b | 2,5 |
| 20 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,1),(b,3),(a,2),(c,4) | a,b | 2,3 |
| 21 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,1),(b,3),(a,2),(c,4) | a,b | 2,3 |
| 22 | a,b,с,d | 1,2,3 | (a,1),(b,3),(c,2),(a,2) | a,b | 2,3 |
| 23 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (a,3),(b,4),(c,1),(d,2) | a,b | 1,4 |
| 24 | a,b,с | 1,2,3,4 | (a,3),(b,1),(c,2),(c,1) | a,c | 4,2 |
| 25 | a,b,с,d,e | 1,2,3 | (c,2),(d,1),(a,3),(b,3) | a,d | 3,1 |
| 26 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (b,2),(c,3),(d,1),(b,4) | b,c | 1,2 |
| 27 | a,b,с,d,e | 1,2,3,4,5 | (b,5),(c,3),(e,1),(a,2) | a,e | 1,3 |
| 28 | a,b,с,d | 1,2,3,4 | (b,3),(c,4),(d,3),(a,1) | b,d | 3,1 |
| 29 | a,b,с | 1,2,3,4,5 | (b,3),(c,4),(d,3),(a,1) | b,d | 3,1 |
| 30 | a,b,с | 1,2,3 | (b,1),(b,3),(c,2),(a,3) | a,b | 2,3 |
Пример решения заданя 1.3.1
Решим задание
1.3.1 для соответствия
Г = (X,Y,G), если X - {a,b,c,d},
Y = {1,2,3,4,5}
G = {(a,2),(b,l),(b,5),(d,4)},
А = {а,Ь), В = {3,4}.
- Изобразим соответствие в виде графа (рис. 1.3.1, а).
- Выясним, какими из свойств обладает данное соответствие.
α) Соответствие не всюду определено, так как npjG -{a,byd} Ф X.
β) Соответствие не сюръективно, так как np2G = {1,2,4,5} Ф Y.
γ) Соответствие не функционально, так как его график содержит две пары (Ь,1)и (Ь,5) с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.
δ) Соответствие инъективно, так как его график G не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами. - Найдём образ Г(А)и прообраз Г -1 (В).
Г(А) = {1,2,5}, так как А = {a,b} и {(а,2),(b,1),(b,5)} ⊆ G
Г -1 (B) = {d}, так как В = {3,4} и только (d,4) ⊆ G. - Построим соответствие между бесконечными множествами,
обладающее тем же набором свойств, что и данное соответствие.
Пусть Х=, У = (-оо,+оо), G = {(x,y)\x2 +у2=1 и х>0}. Покажем, что это соответст- вие (рис. 1.3.1, б) обладает тем же набором свойств, что и данное.
α) Действительно, это соответствие всюду определено, так как np 1 G = X = {u,v}.
β) Соответствие сюръективно, так как np 2 G = {w} = Y.
γ) Соответствие функционально, так как в его графике нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.
δ) Соответствие не инъективно, так как его график состоит из двух пар (u,w)и, (v,w) с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.
Так как построенное соответствие всюду определено, сюръективно и функционально, оно является отображением X на Y.
Задание 1.3.2
Для соответствия Г =(X,Y,G)
- Определить набор свойств, которыми обладает данное соответствие.
- Построить соответствие между конечными множествами с набором свойств, противоположным данному, изобразив соответствие аналитически и в виде графа.
Замечание. Отметить случаи отображений и биекций.
Таблица 1.3.2
| № | X | Y | G |
| 1 | многочлены 2 степени от одной переменной с действительными коэффичентами | R | (многочлен, его корень) |
| 2 | множество кугов на плоскости | множество точек плоскости | (круг, его центр) |
| 3 | (0, + ∞) | [-1,1] | (x,y)|x 2 |
| 4 | N | R | (x, ± 1n x) |
| 5 | R | непрерывные на функции | |
| 6 | вузы вашего города | жители вышего города | (вуз; человек, окончивший этот вуз) |
| 7 | (0, + ∞) | отрезки на прямой | (x, отрезок длины x) |
| 8 | фамилии студентов вашей группы | {1,2,...,100} | (фамилия, число букв в фамилии) |
| 9 | окружности на плоскости | Z | (окружность, ее длина) |
| 10 | функции, определенные на | R | (функция, ордината ее точки максимума) |
| 11 | R 2 | N | |
| 12 | Имена студентов вашей группы | буквы русского алфавита | (имя, буква из имени) |
| 13 | N | студенты вашего вуза | (n, человек с годом рождения n) |
| 14 | {0,1} |
(x,f(x)), где |
|
| 15 | R | R 10 |
(maxa i ,(a t ,a 2 ,..,a 10)) 1≤i≤10 |
| 16 | окружности на плоскости | прямые на плоскости | (окружность, касательная к этой оружности) |
| 17 | 3 | P(U) | ((A,B,C),A⌒B⌒C) |
| 18 | R 2 | (x,(x,y)|x 2 + y 2 = 1) | |
| 19 | R | функции, непрерывные на | |
| 20 | P(U) | 3 | |
| 21 | {0,1,2} | N | (x,y)|x - остаток от деления y на 3 |
| 22 | R + | (x,y)|(x-2) 2 + (y-2) 2 ≤1 | |
| 23 | пары окружностей на плоскости | R 2 | (пара окружностей, координаты точки пересечения этих окружностей) |
| 24 | множество книг в библиотеке вашего вуза | Z | (книга, число страниц в этой книге) |
| 25 | (-4,4) | (x,y)|y=|x-2|+1 | |
| 26 | мужчины вашего города | женщины вашего города | (x,y)|x и y состоят или когда-либо состояли друг с другом в законном браке |
| 27 | 2 | P(U) | ((A,B),A\B) |
| 28 | политические партии вашего города | жители вашего города | ((партия), (человек, состоящий в этой партии) |
| 29 | P(U), где U ={1,2,...,40} | N | (A,|A|), где A∈ P(U) |
| 30 | пары прямых на плоскости | R | (пара прямых, абцисса точки пересечения прямых) |
Пример решения задания 1.3.2
Решим задание 1.3.2 для соответствия Г = (X,Y,G), если X = N, Y - множество непрерывных на [а,Ь] функций, а график G задан так: G =.
1. Определим набор свойств, которым обладает данное соответствие.
α) Для любого натурального числа п можно рассмотреть непрерывную функцию f(x) =Тогда, вычисляя определённый интеграл, будем иметь:
Итак, доказано, что данное соответствие является всюду определённым.
β) Так как для некоторых непрерывных функций на [а,b] определённый интеграл не выражается натуральным числом, то данное соответствие не является сюръективным.
γ) Покажем, что две различные функции могут иметь на рассматриваемом промежутке одинаковое значение определённого интеграла. Для этого можно рассмотреть функции
Для f(x) определённый интеграл не отрезке [а,b], как мы уже выяснили, равен n. Найдём соответствующий интеграл для g(x):
Итак, доказано, что соответствие, описанное в условии задания, не является функциональным.
δ) Так как для каждой функции её определённый интеграл на данном промежутке находится однозначно, данное соответствие является инъективным.
2. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было не всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно.
α) Соответствие Г не всюду определено, так как элемент с, входящий в область отправления, не имеет образа при данном соответствии.
β) Соответствие Г сюръективно, так как его область прибытия {1} совпадает с областью значений.
γ) Соответствие Г функционально, так как его график не содержит пар с равными первыми и различными вторыми координатами.
δ) Соответствие Г не инъективно. так как в его графике пары (а,1) и (b,1) имеют различные первые и одинаковые вторые координаты.
Задание 1.3.3
Установить биекцию между множествами
Таблица 1.3.3
| № | Множества | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 |
{(x,y)|x 2 +y 2 ≤1}и{(x,y)|x 2 +y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 |
N и множество многочленов 3 й степени с натуральными коэффицентами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 |
{(x,y)|x 2 +y 2 =1} и и Q 2 ⌒ 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 11 |
И (0,1). Установим биекцию между множествами Х\В и У\А, как тождественное соответствие f(x) = х. Биекцию между множествами А и В зададим так: f(0)=1/2 , f(1)=1/3 , f(1/2) = 1/4 , f(1/3) = 1/5 ,...,f(1/n)= 1/n+2 ,... Таким образом, между X и К установлена биекция: Изобразим график этой биекции в декартовой системе координат (рис. 1.3.3). Задание выполнено Задание 1.3.4 Доказать, что множество: Таблица 1.3.4
Пример решения задания 1.3.4 Доказать, что множество всех конечных последовательнос- тей, составленных из элементов некоторого счётного мно- жества, счётно. Пусть множество А счётно, А = {а 1 ,а 2 ,...,a n ,...}. Обозначим через В к множество конечных последовательностей длины к, составленных из элементов множества A, k∈N. Покажем для любого к, что множество В к -счётно. Таким образом, любая конечная последовательность длины k, составленная из элементов счётного множества, получит свой номер. Выпишем элементы множеств В k в виде бесконечной таблицы, где k∈N. Имеем, что для любых индексов i,p последовательность b pi получит когда-нибудь единственный номер. Таким образом, установлена биекция между множеством, составленным из элементов b pi , и множеством индексов N, то есть доказана счётность множества всех конечных последовательностей, составленных из элементов некоторого счётного множества А. Соответствием между множествами A и B называется подмножество G прямого произведения этих множеств. G Í A ´ B . Если (a , b ) Î G , то говорят, что «b соответствует a при соответствии G ». Можно считать, что соответствие между множествами A и B и бинарное отношение из А в В – это эквивалентные понятия. Область определения соответствия G – множество ОО G = {a ½ (a , b ) Î G }. Область значений соответствия G – множество ОЗ G = {b ½ (a , b ) Î G }. Соответствие называется всюду (полностью) определенным, если его ОО = A . В противном случае соответствие называется частично определенным . Соответствие называется сюръективным , если ОЗ = B . Образом элемента а в множество B при соответствии G называется множество всех b Î B , соответствующих элементу a Î A . Прообразом элемента b в множество А при соответствии G называется множество всех a Î A , которым соответствует b Î B . Инъективное соответствие – соответствие, в котором прообразом любого элемента b из области значений ОЗ a из области определения ОО . Функциональное (однозначное ) соответствие – соответствие, в котором образом любого элемента а из области определения ОО является единственный элемент b из области значений ОЗ . Соответствие называется биективным (взаимно однозначным ), если оно: а) всюду определено; б) сюръективно; в) функционально; г) инъективно. Соответствие
сюръективное (ОЗ = В ), не функциональное, инъективное
инъекция, не сюръекция,
сюръекция, не инъекция,
сюръективное, инъективное, функциональное, биективное Пример. А = {Иванов, Петров, Сидоров}; В = {2, 3, 4, 5}; R Í A ´ B = {(Иванов, 4), (Петров, 4), (Сидоров, 2)}. Найти область определения и область значений соответствия R, образ элемента «Иванов», прообраз элемента 2, определить свойства соответствия R (сюръективность, функциональность, инъективность, биективность, является ли R всюду определенным). ОО R = {Иванов, Петров, Сидоров}. Так как область определения соответствия совпадает со множеством А, то соответствие является всюду определенным. ОЗ R = {4, 2}. Область значения соответствия не совпадает со множеством В, поэтому соответствие не является сюръективным. Образ элемента «Иванов» = {4}, прообраз элемента 2 = {Сидоров}. Соответствие R является функциональным, потому что у каждого элемента из области определения не более одного образа из области значений. Соответствие не является инъективным, так как элемент 4 имеет более одного прообраза (Иванов и Петров). В силу вышесказанного соответствие R не является биекцией. 1. Пусть x Î X , y Î Y и R – отношение между элементами множества, выражаемое соотношением xRy . Укажите, в каких случаях R можно рассматривать как функцию? а) X – множество студентов, Y – множество учебных дисциплин, xRy означает «x изучает y ». б) X – множество спортсменов, Y – рост в единицах длины, xRy означает «x имеет рост y ». 2. Пусть А =
{-2, -1, 0, 1, 2},а В =
{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Определим соответствие 3. Пусть ¦ Í R ´ R ,где R – множество действительных чисел. Найдите область значений и область определения следующих функций: а) ¦(х ) = х 2 + 4; б) ¦ (х ) = ; 4. Соответствие G
определено графически. Найти образы и прообразы:
 Загрузка...Возможно вам будет интересно:
Последние статьи
|
не полностью определенное,
Не полностью определенное,
Всюду определенное,
Всюду определенное,
